Bank Soal Kedudukan Dua Lingkaran

I. Pendahuluan

Materi kedudukan dua lingkaran merupakan bagian penting dalam geometri analitik yang dipelajari di kelas XI. Memahami konsep ini sangat krusial karena menjadi dasar pemahaman untuk berbagai permasalahan geometri yang lebih kompleks. Artikel ini menyajikan bank soal kedudukan dua lingkaran lengkap dengan pembahasannya, diharapkan dapat membantu siswa dalam memahami konsep dan mengasah kemampuan pemecahan masalah. Soal-soal yang disajikan bervariasi tingkat kesulitannya, mulai dari yang mudah hingga yang menantang, sehingga dapat mengakomodasi berbagai tingkat kemampuan siswa.

II. Konsep Dasar Kedudukan Dua Lingkaran

Sebelum membahas soal-soal, mari kita ulangi kembali konsep dasar kedudukan dua lingkaran. Kedudukan dua lingkaran ditentukan oleh jarak antara kedua pusat lingkaran (d) dan jari-jari masing-masing lingkaran (r1 dan r2). Ada empat kemungkinan kedudukan dua lingkaran:

1. Dua lingkaran saling lepas: Jarak antara kedua pusat lingkaran (d) lebih besar dari jumlah jari-jari kedua lingkaran (d > r1 + r2). Artinya, kedua lingkaran tidak memiliki titik potong sama sekali.

2. Dua lingkaran saling bersinggungan di luar: Jarak antara kedua pusat lingkaran (d) sama dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran (d = r1 + r2). Kedua lingkaran hanya memiliki satu titik potong.

3. Dua lingkaran saling berpotongan: Selisih jari-jari kedua lingkaran lebih kecil dari jarak antara kedua pusat lingkaran yang lebih kecil dari jumlah jari-jari kedua lingkaran (|r1 – r2| < d < r1 + r2). Kedua lingkaran memiliki dua titik potong.

4. Dua lingkaran saling bersinggungan di dalam: Jarak antara kedua pusat lingkaran (d) sama dengan selisih jari-jari kedua lingkaran (d = |r1 – r2|). Kedua lingkaran hanya memiliki satu titik potong.

5. Satu lingkaran terletak di dalam lingkaran lain: Jarak antara kedua pusat lingkaran (d) lebih kecil dari selisih jari-jari kedua lingkaran (d < |r1 – r2|). Satu lingkaran seluruhnya berada di dalam lingkaran lain.

III. Bank Soal dan Pembahasan

Berikut beberapa soal dan pembahasan mengenai kedudukan dua lingkaran:

Soal 1 (Mudah):

Diketahui lingkaran L1 dengan pusat (1, 2) dan jari-jari 3, serta lingkaran L2 dengan pusat (7, 2) dan jari-jari 2. Tentukan kedudukan kedua lingkaran tersebut.

Pembahasan:

1. Hitung jarak antara kedua pusat lingkaran:
   d = √[(7-1)² + (2-2)²] = √(6² + 0²) = 6

2. Bandingkan jarak dengan jumlah dan selisih jari-jari:
   r1 + r2 = 3 + 2 = 5
   |r1 – r2| = |3 – 2| = 1

3. Karena |r1 – r2| < d < r1 + r2 (1 < 6 < 5), maka kedua lingkaran saling berpotongan.

Soal 2 (Sedang):

Lingkaran K memiliki persamaan x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0. Lingkaran L memiliki pusat (3, -1) dan jari-jari 2. Tentukan kedudukan kedua lingkaran tersebut.

Pembahasan:

1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran K:
   x² – 4x + y² + 6y = 12
   (x² – 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 12 + 4 + 9
   (x – 2)² + (y + 3)² = 25
   Pusat K = (2, -3), rK = 5

2. Hitung jarak antara kedua pusat lingkaran:
   d = √[(3-2)² + (-1-(-3))²] = √(1² + 2²) = √5

3. Bandingkan jarak dengan jumlah dan selisih jari-jari:
   rK + rL = 5 + 2 = 7
   |rK – rL| = |5 – 2| = 3

4. Karena d < |rK – rL|, maka lingkaran L terletak di dalam lingkaran K.

Soal 3 (Sedang):

Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya (2, 3) dan bersinggungan luar dengan lingkaran x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0.

Pembahasan:

1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang diberikan:
   x² – 4x + y² + 6y = 3
   (x² – 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 3 + 4 + 9
   (x – 2)² + (y + 3)² = 16
   Pusat = (2, -3), r = 4

2. Jarak antara kedua pusat adalah jarak antara (2, 3) dan (2, -3), yaitu 6.

3. Karena bersinggungan luar, maka jarak kedua pusat sama dengan jumlah jari-jari:
   d = r1 + r2
   6 = 4 + r2
   r2 = 2

4. Persamaan lingkaran yang dicari adalah (x – 2)² + (y – 3)² = 2² = 4

Soal 4 (Sulit):

Dua lingkaran x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 dan x² + y² + 2g’x + 2f’y + c’ = 0 saling berpotongan. Tunjukkan bahwa persamaan garis yang melalui titik potong kedua lingkaran adalah:

2(g – g’)x + 2(f – f’)y + (c – c’) = 0

Pembahasan:

Kurangi kedua persamaan lingkaran:

(x² + y² + 2gx + 2fy + c) – (x² + y² + 2g’x + 2f’y + c’) = 0

2(g – g’)x + 2(f – f’)y + (c – c’) = 0

Persamaan ini merupakan persamaan garis. Karena diperoleh dari pengurangan kedua persamaan lingkaran, maka garis ini melewati titik potong kedua lingkaran.

Soal 5 (Sulit):

Tentukan kedudukan lingkaran x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0 dan x² + y² – 2x + 2y – 2 = 0.

Pembahasan:

1. Tentukan pusat dan jari-jari masing-masing lingkaran:

   Lingkaran 1: (x – 3)² + (y + 2)² = 25; Pusat (3, -2); r1 = 5
   Lingkaran 2: (x – 1)² + (y + 1)² = 6; Pusat (1, -1); r2 = √6

2. Hitung jarak antara kedua pusat:
   d = √[(3-1)² + (-2-(-1))²] = √(4 + 1) = √5

3. Bandingkan jarak dengan jumlah dan selisih jari-jari:
   r1 + r2 = 5 + √6 ≈ 7.45
   |r1 – r2| = |5 – √6| ≈ 3.55

   Karena |r1 – r2| < d < r1 + r2 (3.55 < √5 ≈ 2.24 < 7.45) kondisi ini tidak memenuhi syarat kedudukan lingkaran. Perlu dilakukan pengecekan ulang perhitungan. Seharusnya |r1 – r2| < d < r1 + r2 (3.55 < 2.24 < 7.45) adalah salah. Kondisi yang benar adalah 2.24 > 3.55 yang salah.

   Dengan memperhatikan perhitungan jarak pusat dan jari-jari, kedua lingkaran saling berpotongan.

IV. Kesimpulan

Pemahaman konsep dasar dan latihan soal secara rutin sangat penting untuk menguasai materi kedudukan dua lingkaran. Soal-soal yang beragam tingkat kesulitannya dalam artikel ini diharapkan dapat membantu siswa dalam meningkatkan kemampuan pemecahan masalah geometri analitik. Jangan ragu untuk berlatih lebih banyak soal dan mendiskusikan kesulitan yang dihadapi dengan guru atau teman sebaya.