Memahami dan Menyelesaikan Persamaan Dua Nilai Mutlak

Persamaan nilai mutlak merupakan salah satu topik penting dalam materi matematika kelas 10. Di dalamnya, kita dihadapkan pada konsep nilai mutlak itu sendiri, yaitu jarak suatu bilangan dari titik nol pada garis bilangan. Sifat dasar nilai mutlak adalah selalu menghasilkan nilai non-negatif. Ketika kita bertemu dengan persamaan yang melibatkan dua nilai mutlak, penyelesaiannya membutuhkan pemahaman yang lebih mendalam dan strategi yang terstruktur. Artikel ini akan mengupas tuntas cara menyelesaikan persamaan dengan dua nilai mutlak melalui berbagai contoh soal yang relevan untuk siswa kelas 10.

1. Pengertian Nilai Mutlak

Sebelum melangkah ke persamaan dua nilai mutlak, mari kita ingat kembali definisi nilai mutlak. Nilai mutlak dari sebuah bilangan real $x$, dilambangkan dengan $|x|$, didefinisikan sebagai:

$|x| = begincases x & textjika x ge 0 -x & textjika x < 0 endcases$

Secara geometris, $|x|$ adalah jarak antara $x$ dan $0$ pada garis bilangan. Misalnya, $|5| = 5$ karena jarak $5$ dari $0$ adalah $5$. Begitu pula, $|-5| = 5$ karena jarak $-5$ dari $0$ juga $5$.

2. Sifat-sifat Nilai Mutlak yang Relevan

Beberapa sifat nilai mutlak akan sangat membantu dalam menyelesaikan persamaan, terutama yang melibatkan dua nilai mutlak:

• $|a| = |b|$ jika dan hanya jika $a = b$ atau $a = -b$. Sifat ini sangat krusial dalam menyelesaikan persamaan nilai mutlak.
• $|a|^2 = a^2$. Sifat ini sering digunakan untuk menghilangkan tanda nilai mutlak dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan.
• $|ab| = |a||b|$.
• $|a/b| = |a|/|b|$ (dengan $b ne 0$).

3. Pendekatan Menyelesaikan Persamaan Dua Nilai Mutlak

Ketika kita memiliki persamaan berbentuk $|f(x)| = |g(x)|$, di mana $f(x)$ dan $g(x)$ adalah ekspresi yang mengandung variabel $x$, ada beberapa metode yang bisa digunakan. Dua metode yang paling umum dan efektif adalah:

• Menggunakan Sifat $|a| = |b| iff a = b$ atau $a = -b$.
• Menggunakan Kuadrat Kedua Sisi Persamaan.

Mari kita bahas kedua metode ini dengan contoh soal.

Metode 1: Menggunakan Sifat $|a| = |b| iff a = b$ atau $a = -b$.

Metode ini adalah cara yang paling langsung dan seringkali paling efisien untuk menyelesaikan persamaan $|f(x)| = |g(x)|$. Berdasarkan sifat tersebut, persamaan $|f(x)| = |g(x)|$ dapat dipecah menjadi dua persamaan linear yang lebih sederhana:

1. $f(x) = g(x)$
2. $f(x) = -g(x)$

Kemudian, kita selesaikan masing-masing persamaan linear tersebut untuk menemukan nilai-nilai $x$. Solusi dari kedua persamaan ini adalah solusi dari persamaan nilai mutlak awal.

Contoh Soal 1: Selesaikan persamaan $|2x – 1| = |x + 3|$.

• Langkah 1: Identifikasi $f(x)$ dan $g(x)$.
  Dalam persamaan ini, $f(x) = 2x – 1$ dan $g(x) = x + 3$.

• Langkah 2: Terapkan sifat $|a| = |b| iff a = b$ atau $a = -b$.
  Ini menghasilkan dua kemungkinan:

  • Kasus 1: $2x – 1 = x + 3$
  • Kasus 2: $2x – 1 = -(x + 3)$

• Langkah 3: Selesaikan Kasus 1.
  $2x – 1 = x + 3$
  Pindahkan suku-suku yang mengandung $x$ ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain:
  $2x – x = 3 + 1$
  $x = 4$

• Langkah 4: Selesaikan Kasus 2.
  $2x – 1 = -(x + 3)$
  Pertama, distribusikan tanda negatif pada sisi kanan:
  $2x – 1 = -x – 3$
  Pindahkan suku-suku yang mengandung $x$ ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain:
  $2x + x = -3 + 1$
  $3x = -2$
  $x = -2/3$

• Langkah 5: Tuliskan himpunan penyelesaian.
  Solusi dari persamaan $|2x – 1| = |x + 3|$ adalah $x = 4$ dan $x = -2/3$.
  Himpunan penyelesaiannya adalah $-2/3, 4$.

Metode 2: Menggunakan Kuadrat Kedua Sisi Persamaan.

Metode ini didasarkan pada sifat $|a|^2 = a^2$. Jika kita memiliki persamaan $|f(x)| = |g(x)|$, kita bisa mengkuadratkan kedua sisinya:

$(|f(x)|)^2 = (|g(x)|)^2$
$f(x)^2 = g(x)^2$

Kemudian, kita pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:

$f(x)^2 – g(x)^2 = 0$

Persamaan ini adalah bentuk selisih dua kuadrat, yang dapat difaktorkan menjadi:

$(f(x) – g(x))(f(x) + g(x)) = 0$

Agar hasil perkalian ini sama dengan nol, salah satu faktornya harus nol:

• $f(x) – g(x) = 0 implies f(x) = g(x)$
• $f(x) + g(x) = 0 implies f(x) = -g(x)$

Perhatikan bahwa metode kuadrat kedua sisi ini pada akhirnya mengarah pada dua persamaan yang sama seperti pada Metode 1. Keunggulan metode ini adalah kadang-kadang lebih mudah diingat atau diterapkan jika kita terbiasa dengan aljabar kuadrat.

Contoh Soal 2: Selesaikan persamaan $|3x + 5| = |x – 1|$.

• Langkah 1: Kuadratkan kedua sisi persamaan.
  $(|3x + 5|)^2 = (|x – 1|)^2$
  $(3x + 5)^2 = (x – 1)^2$

• Langkah 2: Pindahkan semua suku ke satu sisi.
  $(3x + 5)^2 – (x – 1)^2 = 0$

• Langkah 3: Faktorkan menggunakan selisih dua kuadrat ($a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$).
  Di sini, $a = (3x + 5)$ dan $b = (x – 1)$.
  $ = 0$

• Langkah 4: Sederhanakan setiap faktor.
  Faktor pertama: $(3x + 5) – (x – 1) = 3x + 5 – x + 1 = 2x + 6$
  Faktor kedua: $(3x + 5) + (x – 1) = 3x + 5 + x – 1 = 4x + 4$

  Jadi, persamaan menjadi:
  $(2x + 6)(4x + 4) = 0$

• Langkah 5: Setel setiap faktor sama dengan nol dan selesaikan.

  • $2x + 6 = 0$
    $2x = -6$
    $x = -3$

  • $4x + 4 = 0$
    $4x = -4$
    $x = -1$

• Langkah 6: Tuliskan himpunan penyelesaian.
  Solusi dari persamaan $|3x + 5| = |x – 1|$ adalah $x = -3$ dan $x = -1$.
  Himpunan penyelesaiannya adalah $-3, -1$.

Metode 3: Menggunakan Definisi Nilai Mutlak (Metode Percabangan)

Metode ini melibatkan pemecahan persamaan berdasarkan interval nilai $x$ yang membuat ekspresi di dalam nilai mutlak menjadi positif atau negatif. Untuk persamaan $|f(x)| = |g(x)|$, kita perlu mempertimbangkan titik-titik kritis di mana $f(x) = 0$ dan $g(x) = 0$. Titik-titik kritis ini akan membagi garis bilangan menjadi beberapa interval. Di setiap interval, kita akan menentukan tanda dari $f(x)$ dan $g(x)$, kemudian menyelesaikan persamaan tanpa tanda nilai mutlak.

Meskipun metode ini sangat fundamental dan berlaku untuk persamaan nilai mutlak yang lebih kompleks (misalnya, melibatkan lebih dari dua nilai mutlak atau operasi penjumlahan/pengurangan), untuk persamaan $|f(x)| = |g(x)|$, metode 1 dan 2 umumnya lebih efisien. Namun, mari kita lihat contohnya untuk pemahaman.

Contoh Soal 3: Selesaikan persamaan $|x – 2| = |2x + 1|$.

• Langkah 1: Tentukan titik kritis.
  Titik kritis adalah nilai $x$ yang membuat ekspresi di dalam nilai mutlak bernilai nol.

  • $x – 2 = 0 implies x = 2$
  • $2x + 1 = 0 implies x = -1/2$

• Langkah 2: Bagi garis bilangan menjadi interval berdasarkan titik kritis.
  Titik-titik kritis $-1/2$ dan $2$ membagi garis bilangan menjadi tiga interval:

  • Interval 1: $x < -1/2$
  • Interval 2: $-1/2 le x < 2$
  • Interval 3: $x ge 2$

• Langkah 3: Tentukan tanda ekspresi di setiap interval.

  • Interval 1 ($x < -1/2$):
    Ambil nilai uji, misalnya $x = -1$.
    $x – 2 = -1 – 2 = -3$ (negatif, jadi $|x-2| = -(x-2) = -x + 2$)
    $2x + 1 = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1$ (negatif, jadi $|2x+1| = -(2x+1) = -2x – 1$)
    Persamaan menjadi: $-x + 2 = -2x – 1$

  • Interval 2 ($-1/2 le x < 2$):
    Ambil nilai uji, misalnya $x = 0$.
    $x – 2 = 0 – 2 = -2$ (negatif, jadi $|x-2| = -(x-2) = -x + 2$)
    $2x + 1 = 2(0) + 1 = 1$ (positif, jadi $|2x+1| = 2x + 1$)
    Persamaan menjadi: $-x + 2 = 2x + 1$

  • Interval 3 ($x ge 2$):
    Ambil nilai uji, misalnya $x = 3$.
    $x – 2 = 3 – 2 = 1$ (positif, jadi $|x-2| = x – 2$)
    $2x + 1 = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7$ (positif, jadi $|2x+1| = 2x + 1$)
    Persamaan menjadi: $x – 2 = 2x + 1$

• Langkah 4: Selesaikan persamaan di setiap interval.

  • Interval 1: $-x + 2 = -2x – 1$
    $2x – x = -1 – 2$
    $x = -3$
    Periksa apakah $x = -3$ berada dalam interval $x < -1/2$. Ya, $-3 < -1/2$. Jadi, $x = -3$ adalah solusi yang valid.

  • Interval 2: $-x + 2 = 2x + 1$
    $2 – 1 = 2x + x$
    $1 = 3x$
    $x = 1/3$
    Periksa apakah $x = 1/3$ berada dalam interval $-1/2 le x < 2$. Ya, $-0.5 le 1/3 < 2$. Jadi, $x = 1/3$ adalah solusi yang valid.

  • Interval 3: $x – 2 = 2x + 1$
    $-2 – 1 = 2x – x$
    $-3 = x$
    Periksa apakah $x = -3$ berada dalam interval $x ge 2$. Tidak, $-3$ tidak lebih besar atau sama dengan $2$. Jadi, $x = -3$ bukan solusi yang valid dari interval ini.

• Langkah 5: Tuliskan himpunan penyelesaian.
  Solusi yang valid dari ketiga interval adalah $x = -3$ dan $x = 1/3$.
  Himpunan penyelesaiannya adalah $-3, 1/3$.

  Verifikasi (Opsional):
  Untuk $x = -3$:
  $|x – 2| = |-3 – 2| = |-5| = 5$
  $|2x + 1| = |2(-3) + 1| = |-6 + 1| = |-5| = 5$
  $5 = 5$ (Benar)

  Untuk $x = 1/3$:
  $|x – 2| = |1/3 – 2| = |1/3 – 6/3| = |-5/3| = 5/3$
  $|2x + 1| = |2(1/3) + 1| = |2/3 + 3/3| = |5/3| = 5/3$
  $5/3 = 5/3$ (Benar)

4. Tips Tambahan untuk Menyelesaikan Soal

• Pahami Pertanyaan: Pastikan Anda mengerti apa yang diminta oleh soal. Apakah hanya mencari nilai $x$, atau menyajikan dalam bentuk himpunan penyelesaian?
• Periksa Solusi: Selalu luangkan waktu untuk memeriksa kembali solusi Anda dengan mensubstitusikannya kembali ke persamaan asli. Ini sangat penting untuk menghindari kesalahan.
• Gunakan Metode yang Tepat: Untuk persamaan $|f(x)| = |g(x)|$, metode 1 (sifat $|a|=|b|$) atau metode 2 (kuadrat kedua sisi) biasanya lebih efisien daripada metode percabangan.
• Perhatikan Tanda Negatif: Kesalahan umum terjadi pada manipulasi tanda negatif, terutama saat menggunakan sifat $a = -b$.
• Latihan Soal: Semakin banyak Anda berlatih, semakin terampil Anda dalam mengenali pola dan menerapkan metode yang tepat.

Kesimpulan

Menyelesaikan persamaan dua nilai mutlak pada dasarnya adalah tentang menghilangkan tanda nilai mutlak sambil memastikan semua kemungkinan solusi tercakup. Metode menggunakan sifat $|a| = |b| iff a = b$ atau $a = -b$ serta metode kuadrat kedua sisi adalah dua pendekatan yang paling direkomendasikan untuk persamaan berbentuk $|f(x)| = |g(x)|$. Dengan pemahaman yang kuat tentang definisi nilai mutlak dan penerapan sifat-sifatnya, siswa kelas 10 akan mampu mengatasi berbagai variasi soal persamaan dua nilai mutlak dengan percaya diri. Latihan yang konsisten adalah kunci untuk menguasai materi ini.